Question

9．如图，△ABC中，AB=AC=4$\sqrt{5}$，BC=8．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的圆O，并标圆O与AB的交点D，与BC的交点E，连接DE、CE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DE=CE；②求点D到BC的距离．

Answer 1

分析 （1）先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，再以O为圆心，OA为半径作圆交AB于D，交BC于E；
（2）①连结AE，先利用圆周角定理得到∠AEC=90°，再根据等腰三角形的性质得到AE平分∠BAC，即∠DAE=∠CAE，则根据圆周角定理得$\widehat{DE}$=$\widehat{CE}$，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
②作DF⊥BC于F，连结CD，如图，先根据勾股定理计算出AE=8，再利用面积法求出CD=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，然后证明Rt△ABE∽Rt△CDF，则利用相似比可计算出BF．

解答 （1）解：如图，⊙O为所作；
（2）①证明：连结AE，如图，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴BE=CE=4，
∴AE平分∠BAC，即∠DAE=∠CAE，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{CE}$，
∴DE=CE；
②解：作DF⊥BC于F，连结CD，如图，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AE•BC，
∴CD=$\frac{8×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵∠BAE=∠DCF，
∴Rt△ABE∽Rt△CDF，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DF}$，即$\frac{4\sqrt{5}}{\frac{16\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{4}{DF}$，解得DF=$\frac{16}{5}$，
即点D到BC的距离为$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和勾股定理．