Question

19．如图，在正n边形（n为整数，且n≥4）绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为正n边形的“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．以下说法，正确的是①．（填番号）
①在图1中，△AOB≌△AOD'；         
②在图2中，正五边形的“叠弦角”的度数为360°；
③“叠弦三角形”不一定都是等边三角形； ④正n边形的“叠弦角”的度数为60°-$\frac{180°}{n}$．

Answer 1

分析 ①先由正方形的性质和旋转的性质得出AB=AD′，再根据HL得出Rt△ABO≌Rt△AD′O即可；
②先判断出∴△APE≌△AOE′，再判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，再判断出Rt△APM≌Rt△AON，依此计算即可；
③先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；
④用②的方法求出正n边形的“叠弦角”的度数即可．

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
由旋转的性质得，AD=AD′，∠D=∠D′=90°，
∴AB=AD′，
在Rt△ABO与Rt△AD′O中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD′}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABO≌Rt△AD′O，
故①正确；
②如图2，

作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五边形ABCDE是正五边形，
 由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，
∴∠EAP=∠E'AO，
在△APE与△AOE'中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠E'=108°}\\{AE=AE'}\\{∠EAP=∠E'AO}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AOE′（ASA），
∴∠OAE′=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}\\{∠AEM=∠ABN=72°}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
 在Rt△APM和Rt△AON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AO}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB，
∴∠OAE'=∠OAB=$\frac{1}{2}$（108°-60°）=24°，
故②错误；
③如图3，

∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′D′E′F′是正六边形，
∴∠F=F′=120°，
由旋转得AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得∠FAF′=60°，AP=AO，
∴∠PAO=∠FAF′=60°，
∴△PAO是等边三角形，
故③错误．
④由图1中的多边形是四边形，图2中的多边形五边形，图3中的多边形是六边形，
∴图n中的多边形是正（n+3）边形，
同②的方法得，∠OAB=[（n+3-2）×180°÷（n+3）-60°]÷2=60°-$\frac{180°}{n+3}$，
故正n边形的“叠弦角”的度数为60°-$\frac{180°}{n}$．
故④正确．
故答案：①④．

点评 此题是几何变形综合题，主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定，解本题的关键是判定三角形全等．