Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=2，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；
（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG=60°．结合OC=2求CE，从而得解．

解答：解：（1）直线FC与⊙O相切．                            
理由如下：连接OC．
∵OA=OC，∴∠1=∠2．                                  
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3，∴OC∥AF．
∴∠OCG=∠F=90°．
∴直线FC与⊙O相切．  
                        
（2）在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°．                                        
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=2×

3

2

=

3

．       
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=2

3

．

点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．