Question

某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少（总利润=总收入-总成本）？

Answer 1

分析：（1）先根据题意设y=kx+b，分别把对应的x=20，y=360；x=25，y=210代入利用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润=总收入-总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P=-30（x-24）²+1920，求其最大值即可．

解答：解：（1）依题意设y=kx+b，则有

360=20k+b 210=25k+b

解得

k=-30 b=960

∴y=-30x+960（16≤x≤32）（4分）

（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）
=30（-x+32）（x-16）（5分）
=30（-x^2₊48x-512）
=-30（x-24）²+1920（7分）
∴在16≤x≤32范围内，当x=24时，P有最大值，最大值为1920．（8分）
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．（9分）

点评：主要考查了根据实际问题列函数关系式的能力．读懂题意准确地列出式子是解题的关键，要熟练地运用待定系数法求函数关系式，并会利用二次函数的最值问题求实际问题的最大利润．