Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求A，B两点的坐标；

(3)若M是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x＋4； (2)点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(8,0)；(3)点M的坐标为(2,6)或(6,4).

【解析】

（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（m，-m2+m+4），则点N的坐标为（m，-m+4），进而可得出MN=|-m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．

(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，

∴，解得：a＝－，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4

(2)当y＝0时，－ x2＋x＋4＝0，解得：x1＝－2，x2＝8，

∴点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(8,0)

(3)当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，

∴点C的坐标为(0,4)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．

将B(8,0)，C(0,4)代入y＝kx＋b，得，解得：

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4

设点M的坐标为，则点N的坐标为，其中0<m<8

∴MN＝，

又∵MN＝3，

∴－m2＋2m＝3，解得：m1＝2，m2＝6，

∴点M的坐标为(2,6)或(6,4).