Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90，sinC=，AC=8，BD平分∠ABC交边AC于点D．

求（1）边AB的长；

（2）tan∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）AB=6；（2）tan∠ABD=.

【解析】

（1）先解Rt△ABC，得出sinC=，设出AB=3k，则BC=5k，由BC2-AB2=AC2，得出方程（5k）2-（3k）2=82，解方程求出k的值，进而得到AB；

（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x．根据角平分线的性质得出DE=AD=x，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE=BA=6，那么CE=BC-BE=4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2=CD2，即x2+42=（8-x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解．

（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，

∴sinC=，BC2-AB2=AC2，

∴可设AB=3k，则BC=5k，

∵AC=8，

∴（5k）2-（3k）2=82，

∴k=2（负值舍去），

∴AB=3×2=6；

（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x．

∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB=90°，

∴DE=AD=x．

在Rt△BDE与Rt△BDA中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），

∴BE=BA=6，

∴CE=BC-BE=5×2-6=4．

在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，

∴DE2+CE2=CD2，

∴x2+42=（8-x）2，

解得x=3，

∴AD=3，

∴tan∠DBA===.