Question

3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=6，AD=3，CD=2，在Rt△EFG中，∠GEF=90°，EF=3，GE=6，△EFG（点F和点A重合）的边EF和梯形的边AB在同一直线上．现Rt△EFG将从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）求线段BC的长度；
（2）在整个运动过程中，设△EFG与△ABD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式和相应t的取值范围；
（3）当点F到达点B时，将△EFG绕点F顺时针旋转α（0＜α＜180°），旋转过程中EF所在直线交CD所在直线于M，是否存在这样的α，使△BCM为等腰三角形？若存在，求DM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过C点作CH⊥AB于H，用勾股定理计算即可；
（2）分类讨论：0≤t≤$\frac{3}{2}$；$\frac{3}{2}$＜t≤3； 3＜t≤6；运用相似表示出各线段，然后重叠部分的面积用两个三角形的面积差表示出来；
（3）分三种情况讨论，当BC=BM时，当CM=BM时，当 CB=CM时．运用勾股定理计算或列方程求解．

解答 解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于H
∵四边形AHCD是矩形，AD=3，CD=2，
∴CH=AD=3，AH=CD=2，
∵AB=6，
∴BH=4，
∵Rt△CBH中，∠CHB=90°
∴BC²=CH²+BH²=3²+4²=25
∵BC＞0，
∴BC=5；
（2）①如图2，当0≤t≤$\frac{3}{2}$时；
∵EF=3，GE=6，
∴FA=t时，AP=2t，
∴S=$\frac{1}{2}$×t×2t=t²，
②如图3，当$\frac{3}{2}$＜t≤3时，BF=6-t，
∵△BQP∽△PQF，
∴$\frac{QF}{BQ}=\frac{QF}{PQ}=\frac{1}{2}$
∴QF=$\frac{6-t}{3}$，PQ=$\frac{2（6-t）}{3}$，
∴S=S_△BAD-S_△BFP=9-$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2（6-t）}{3}$=-$\frac{1}{3}$t²+4t-3，
③如图4，当3＜t≤6时，BE=6-（t-3）=9-t，EM=$\frac{9-t}{2}$，BF=6-t，PQ=$\frac{2（6-t）}{3}$，
∴S=S△BEM-S△BFP=$\frac{1}{2}$×（9-t）×$\frac{9-t}{2}$-$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2（6-t）}{3}$=-$\frac{1}{12}$t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{33}{4}$．
（3）存在；
如图5，
①当BC=BM时
过点B作BP⊥CD，
∵Rt△CBP中，∠CPB=90°，CB=5，BP=3，
∴CP=4，
∴PM=4，
∴DM=10；
②当CM=BM时，
设CM=x，则BM=x，PM=4-x
∵Rt△MPB中，∠MPB=90°
∴x²=4²+（4-x）²
∴x=$\frac{41}{8}$；
③当BC=CM时，
∵BC=5，AB=6，
∴CD=2，CM=5
若M在DC延长线上，则DM₃=CD+CM=7，
若M中CD延长线上，则DM₄=CM-CD=3．
综上所述：DM=3或7或10或$\frac{41}{8}$．

点评 本题主要考查了本题考查了图形的平移，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，分段函数的解法的运用，三角函数值的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时寻找分段函数的分段点是难点，解答时考虑不同情况的S的值如何的表示是关键．