Question

把一副三角板如下图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙）．这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．
（1）求∠OFE₁的度数；
（2）求线段AD₁的长．

Answer 1

解：（1）如图所示，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；

（2）∵∠OFE₁=120°，
∴∠D₁FO=60°，
∵∠C D₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，AB=6cm，
∴OA=OB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=AB=×6=3cm，
又∵CD₁=7cm，
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4cm，
∴在Rt△AD₁O中，
AD₁===5cm．
分析：（1）如图所示，∠3=15°，∠E₁=90°，∠1=∠2=75°，所以，可得∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE₁=∠120°，得∠D₁FO=60°，所以∠4=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD₁=CD₁-OC=7-3=4cm，在Rt△AD₁O中，AD₁===5cm．
点评：本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，并且掌握旋转前后的两个图形完全相等．