如图，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩的B点重，∠FGE=90°，FG=3．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向运动，当点F恰好经过BD时，将△EFG绕点F逆时针旋转α°（0°＜α°＜90°），记旋转中的△EFG为△E′F′G′，在旋转过程中，设直线E′G′与直线BC交于N，与直线BD交于M点，当△BMN为以MN为底边的等腰三角形时，FM的长为3$\sqrt{26}$． 分析 如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，求出RT、RC，利用△BTR∽△MG′F得$\frac{FM}{BR}=\frac{FG′}{RT}$，列出方程即可解决．
解答 解：如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，∠C=90°，
∵BD=13，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在△BRT和△BRC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BTR}\\{∠RBT=∠RBC}\\{BR=BR}\end{array}\right.$，
∴△BRT≌△BRC，
∴BT=BC=12，TD=1，设RT=RC=x，
在RT△RTD中，∵TD2+RT2=RD2，
∴x2+12=（5-X）2，
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴BR=$\sqrt{B{T}^{2}+R{T}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{26}}{5}$，
∵BN=BM，
∴∠BMN=∠BNM，
∵∠DBC=∠BMN+∠BNM，∠RBD=∠RBC，
∴∠TBR=∠FMG′，
∵∠RTB=∠FG′M=90°，
∴△BTR∽△MG′F，
∴$\frac{FM}{BR}=\frac{FG′}{RT}$，
∴$\frac{FM}{\frac{12\sqrt{26}}{5}}=\frac{3}{\frac{12}{5}}$，
∴FM=3$\sqrt{26}$．
点评 本题考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、角平分线的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确画出图象是解题的关键．
黄冈冠军课课练系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；查看答案和解析>>
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如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点P在线段CD上移动，点C、D的坐标分别为（-1，1）和（3，4）．当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．在整个移动过程中，点A移动的距离为（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
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已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，AB=AD．求证：AC=AE．