Question

【题目】如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．

（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：；

（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理．

（3）在（1）的条件下，，，若把绕点旋转，当时，请直接写出的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论成立，详见解析；（3）或

【解析】

（1）利用SAS证，可得出；

（2）根据直角三角形边的关系，可得，从而证，最终得出角度关系；

（3）存在2种情况，一种是点E在线段AB上，另一种是点E在AB的反向延长线上，分别利用相似的关系推导可得．

（1）和是等腰直角三角形，，

，，．

．

．

（2）（1）中结论成立，理由：

在中，，

，

在中，，

，

．

，

，

．

．

（3）情况一：如下图，点E在线段AB上

由第（1）问可得：△BAD≌△CAE

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ADB=∠PDC

∴△ABD∽△PCD

∴

∵AB=AC=6，AD=AE=4,

∴DC=10

∴在Rt△BAD中，DB=

∴DP=

∴PB=

情况二：如下图，点E在BA的延长线上

同理可证：△AEC∽△PEB

∴

∵AB=AC=6，AD=AE=4,

∴EB=10

∴在Rt△AEC中，EC=

∴BP=

∴综上得：的长为或