Question

“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG=m，与点B的水平距离CF=2m．
（1）求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．
（2）求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．
（3）小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．

Answer 1

【答案】分析：（1）在题中，BE=2，B到y轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k；
（2）由（1）知，抛物线顶点坐标已知，可列两个关系式，又C点坐标已知则可列一个关于a、b、c的方程组，进而求出解析式，求出点D的横坐标，继而可得出自变量的取值范围；
（3）用D的横坐标减去点E的横坐标，即可求出水平距离d．
解答：解：（1）∵BE=2，B到y轴的距离是5，
∴B点坐标为（5，2），
若设反比例解析式为y=，
则k=10，
∴y=，
当y=5时，x=2，
即A点坐标为（2，5），
∴自变量x的取值范围2≤x≤5；

（2）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
由题意可知，顶点坐标为（5，2），C点坐标为（7，），
，
解得，，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+x-，
当y=0时，x₁=9，x₂=1（舍去），
即D（9，0），
∴自变量的取值范围是：5≤x≤9；

（3）由题可知，ED=9-5=4（m），
即小明从点B滑水面上点D处时，他所滑过的水平距离d=4m．
点评：此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难易程度适中．