Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）²＜b²；⑤a＞1．其中正确的个数是

 

（只需填序号）

Answer 1

分析：先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．

解答：解：从开口方向向上可知a＞0，与y轴交点在x轴下方，则C＜0，又因为对称轴x=-

b

2a

＞0，∴b＜0，abc＞0，①对；0＜-

b

2a

＜1，∴-b＜2a，∴2a+b＞0，②不对；

x=1，y1=a+b+c； x=m，y2=am2+mb+c=m(am+b)+c

，当m＞1，y₂＞y₁；当m＜1，y₂＜y₁，所以不能确定，③不对；

∴(a+c+b)(a+c-b)=(a+b+c)(a-b+c) x=1，y=a+b+c=0；x=-1，y=a-b+c＞0 ∴(a+b+c)(a-b+c)=0 ∴(a+c)2-b2=0，

所以④不对；

x=-1，a-b+c=2；x=1，a+b+c=0 ∴2a+2c=2，a+c=1，a=1-c=1+(-c)＞1

，所以选⑤
综上所述：选①⑤
故答案为①⑤

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；
二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-

b

2a

判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0，没有交点，b²-4ac＜0．