Question

18．（1）操作发现，提出问题：
如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明．
（2）深入问题，解决问题：
如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．
（3）拓展研究，问题延伸：
继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，则四边PMCN为矩形，根据角平分线性质得PM=PN，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，则PB=PE；
（2）过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE；
（3）过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．

解答 证明：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四边PMCN为矩形，PM=PN，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠CEP=180°，
而∠CEP+∠PEN=180°，
∴∠PBM=∠PEN，
在△PBM和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠PNE}\\{∠PBM=∠PEN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE；

（2）如图2，PB=PE还成立．
理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四边形PMCN为矩形，PM=PN，
∴∠MPN=90°，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠BPM+∠MPE=90°，
而∠MEP+∠EPN=90°，
∴∠BPM=∠EPN，
在△PBM和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠PNE}\\{∠PBM=∠PEN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE；

（3）如图3，PB=PE还成立．
理由如下：过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M，PN⊥CD的延长线于N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴四边形PMCN为正方形形，PM=PN，
∴∠MPN=90°，
∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，
∴∠BPN+∠NPE=90°，
而∠NEP+∠EPN=90°，
∴∠BPN=∠EPN，
在△PBM和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠PNE}\\{∠PBM=∠PEN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△PBM≌△PEN（AAS），
∴PB=PE．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质，会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．