Question

9．如图，矩形ABCD是由三个完全相同的正方形ABEG、GEFH、HFCD组成的，证明：△FEA∽△AEC．

Answer 1

分析 设三个完全相同的正方形ABEG、GEFH、HFCD的边长为a，由勾股定理求出AE，求出$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，再由公共角∠AEF=∠CEA，即可得出△FEA∽△AEC．

解答 证明：设三个完全相同的正方形ABEG、GEFH、HFCD的边长为a，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△FEA∽△AEC．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．