Question

如图，直线y=x与双曲线y=在第一象限的交点为点A，将直线沿y轴向下平移使其经过双曲线上的点B（a，1），且交y轴于点C．
（1）求点A的坐标及直线BC的解析式；
（2）求四边形AOCB面积；
（3）在x轴上确定点P，使△ABP是以AB为直角边的直角三角形．

Answer 1

解：（1）∵点A在直线y=x和双曲线y=上，
∴，
解得：或，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（2，2），
∵点B（a，1）在双曲线y=上，
∴1=，
解得：a=4，
∴点B坐标为（4，1），
∵直线BC由直线y=x平移得到，
∴设BC的解析式为y=x+b，
将点B（4，1）代入，得b=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
（2）作AD⊥y轴于点D，BE⊥AD于点，可得直角梯形BEDC，

故可得点D（0，2），点E（4，2），点C（0，-3），EB=1，DC=5，DE=4，DA=2，DO=2，AE=2，
S_梯形BEDC=（EB+DC）×DE=×（1+5）×4=12，
S_△ADO=AD×DO=×2×2=2，
S_△AEB=AE×EB=×2×1=1，
故可得S_{四边形AOCB}=S_梯形BEDC-S_△ADO-S_△AEB=12-2-1=9．
（3）由点A（2，2），点B（4，1）可得直线AB：y=-x+3，直线与x轴的交点G（6，0），
①当∠PAB=90°时，作AQ⊥x轴于点Q，可得OQ=2，AQ=2，QG=4，

则PQ•QG=AQ²，即PQ×4=2²，
故PQ=1，OP=OQ-PQ=2-1=1，
从而可得点P的坐标为（1，0）；
②当∠PBA=90°时，作BH⊥x轴于点H，可得OH=4，BH=1，HG=2，

则PH×HG=BH²，即PH×2=1²，
故PH=，OP=OH-PH=4-=，
从而可得点P的坐标为（，0）；
分析：（1）联立直线解析式及双曲线的解析式解出交点，从而得出点A的坐标，求出点B的坐标，设BC的解析式为y=x+b，然后代入点B的坐标即可得出直线BC的解析式；
（2）分别表示出S_{四边形AOCB}、S_梯形BEDC、S_△ADO、S_△AEB，继而根据S_{四边形AOCB}=S_梯形BEDC-S_△ADO-S_△AEB可得出答案．
（3）分两种情况讨论，①当∠PAB=90°时，②当∠PBA=90°时，分别求出点P的坐标即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了待定系数法求反比例函数的解析式、梯形及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解，需要同学们将所学知识融会贯通．