Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA=OC=5．

（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．

∵抛物线y=x2+bx+c过点A，点C，

∴ ，

解得 ，

∴抛物线对应的函数解析式为y=x2+4x﹣5；

（2）解：∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，

∴对称轴是直线x=﹣2．

∵抛物线y=x2+4x﹣5与x轴交于点A，B，

∴点A，B关于直线x=﹣2对称．

连结AC，交对称轴于点P，此时PB+PC的值最小．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，

当x=﹣2时，y=﹣3，

∴点P的坐标为（﹣2，﹣3）

（3）解：在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．

设F（x，x2+4x﹣5），

∵四边形PEFM为正方形，

∴E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM=PE，

∴|x+2|=|x2+4x﹣5+3|，

∴x2+4x﹣2=x+2，或x2+4x﹣2=﹣x﹣2，

整理得x2+3x﹣4=0，或x2+5x=0，

解得x1=﹣4，x2=1，x3=0，x4=﹣5，

∴M（﹣4，﹣3）或M（1，﹣3）或M（0，﹣3）或M（﹣5，﹣3）

【解析】（1）由题意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．把点A，C的坐标代入y=x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式；（2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线x=﹣2．由抛物线y=x2+4x﹣5与x轴交于点A，B，得出点A，B关于直线x=﹣2对称．连结AC，交对称轴于点P，根据两点之间线段最短可知此时PB+PC的值最小．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，把x=﹣2代入，求出y=﹣3，进而得出点P的坐标；（3）在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．设F（x，x2+4x﹣5），根据正方形的性质可得E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM=PE，根据两点间的距离公式列出方程|x+2|=|x2+4x﹣5+3|，解方程即可求解．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．