分析 (1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形,进而求出四边形BCED′是平行四边形,根据折叠的性质得到AD=AD′,然后又菱形的判定定理即可得到结论;
(2)由四边形DAD′E是平行四边形,得到?DAD′E是菱形,推出D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG=$\frac{1}{2}$,DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,根据勾股定理即可得到结论.
解答 证明:(1)∵将?ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,
∵DE∥AD′,
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,
∴∠DAD′=∠DED′,
∴四边形DAD′E是平行四边形,
∴DE=AD′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴CE=D′B,CE∥D′B,
∴四边形BCED′是平行四边形;
∵AD=AD′,
∵AB=2,AD=1,
∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1,
∴?BCED′是菱形,
(2)∵四边形DAD′E是菱形,
∴D与D′关于AE对称,
连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,
过D作DG⊥BA于G,
∵CD∥AB,
∴∠DAG=∠CDA=60°,
∵AD=1,
∴AG=$\frac{1}{2}$,DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴BG=$\frac{5}{2}$,
∴BD=$\sqrt{D{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$,
∴PD′+PB的最小值为$\sqrt{7}$.
点评 本题考查了平行四边形的性质,最短距离问题,勾股定理,菱形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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