Question

【题目】如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D． 点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．

（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；

（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？

Answer 1

【答案】（1） ，（，2）； （2）

【解析】

（1）连接GD，CE，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得OA=2，OB=，AB=，设GD=GA=r，证出△BDG∽△BOA，列出比例式即可求出r，证出△CEA∽BOA，列出比例式即可求出点C的坐标；

（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CF，根据等腰直角三角形的判定和同弧所对的圆周角相等可得△EHA为等腰直角三角形，∠FCA=∠FEA=45°，利用锐角三角函数即可求出EH和HA，然后利用直径所对的圆周角是直角和锐角三角函数即可求出AF，再根据勾股定理即可求出HF，从而求出EF．

解：（1）连接GD，CE

∵点A（2，0）、B（0，）

∴OA=2，OB=，AB=

设GD=GA=r，则BG=AB－GA=

∴∠GAD=∠GDA

∵AD平分∠BAO

∴∠GAD=∠OAD

∴∠GDA=∠OAD

∴GD∥OA

∴△BDG∽△BOA

∴

即

解得：r=

∵AC为直径

∴AC=，∠CEA=90°

∵∠BOA=90°，∠CAE=∠BAO

∴∠CEA=∠BOA，

∴△CEA∽BOA

∴

即

解得：

∴OE=OA－AE=

∴点C的坐标为（，2）；

（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CF

∵∠FEA=45°

∴△EHA为等腰直角三角形，∠FCA=∠FEA=45°

∴EH=HA=AE·sin∠FEA=，

∵AC为直径

∴∠CFA=90°

∴△CFA为等腰直角三角形

∴AF= AC·sin∠FCA =

在Rt△HFA中，HF=

∴EF=EH＋HF=