Question

已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB=12cm．求两个圆之间的圆环面积．

Answer 1

【答案】分析：连接OC，OA，由大圆的弦与小圆相切，利用切线的性质得到OC与AB垂直，再根据垂径定理，由垂直得到C为AB的中点，根据AB的长求出AC的长，可设大圆的半径为R，小圆的半径为r，在直角三角形AOC中，根据勾股定理求出R²-r²的值，然后由大圆的面积减去小圆的面积表示出圆环的面积，将求出R²-r²的值代入即可求出圆环的面积．
解答：解：连接OA，OC，
∵大圆的弦AB切小圆于C点，
∴OC⊥AB，又AB=12cm，
∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=6cm，
设大圆的半径为Rcm，小圆的半径为rcm，
在直角三角形AOC中，OA=Rcm，OC=rcm，AC=6cm，
根据勾股定理得：OA²=AC²+OC²，即R²=r²+36，
∴R²-r²=36，
则两圆之间的圆环面积S=πR²-πr²=36π．

点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，以及圆的面积公式，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．