Question

15．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB-CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2，AB=5，则GE=$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可；
性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．

解答 解：概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

性质探究：AD²+BC²=AB²+CD²．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD²+BC²=AE²+DE²+BE²+CE²，
AB²+CD²=AE²+BE²+CE²+DE²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²；

问题解决：连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}&{\;}\\{∠GAB=∠CAE}&{\;}\\{AB=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG²+BE²=CB²+GE²，
∵AC=2，AB=5，
∴BC=$\sqrt{21}$，CG=2$\sqrt{2}$，BE=5$\sqrt{2}$，
∴GE²=CG²+BE²-CB²=37，
∴GE=$\sqrt{37}$；
故答案为：$\sqrt{37}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．