Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx经过A（2，0），B（3，－3）两点，抛物线的顶点为C，动点P在直线OB上方的抛物线上，过点P作直线PM∥y轴，交x轴于M，交OB于N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）当△PON为等腰三角形时，点N的坐标为 ；当△PMO∽△COB时，点P的坐标为 ；（直接写出结果）

（3）直线PN能否将四边形ABOC分为面积比为1：2的两部分？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；C（1，1）；（2）N1（1，－1），N2（2，－2），N3（， ）P1（， ），P2（， ）；（3）或

【解析】（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过（2，0）B（3，-3）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax2+bx即可求出它的解析式；
（2）由△PON为等腰三角形的条件，依次写出点N、点P的坐标；
（3）作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，交OB于F，由三角形面积求出OE＝EF，然后分几种情况得到m 的值．

解：（1）根据题意，得，解这个方程组得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x

当x＝时，y＝－x2＋2x＝1，∴C（1，1）

（2）N1（1，－1），N2（2，－2），N3（， ）

P1（， ），P2（， ）

（3）作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，交OB于F

则BD＝OD＝3，CE＝OE＝1，OC＝AC

∴△ODB，△OCE，△AOC均为等腰直角三角形

∴∠AOC＝∠AOB＝∠OAC＝45°

∵PM∥y轴，∴OM⊥PN，∠MNO＝∠AOB＝45°，∴OM＝MN＝m，OE＝EF＝1

①∵

∴当0＜m≤1时，不能满足条件

②当1＜m≤2时，设PN交AC于Q，则MQ＝MA＝2－m

由，得，解得

，符合题意

由，得，解得

，符合题意

③当2＜m＜3时，作AG⊥x轴，交OB于G，

则AG＝OA＝2，AD＝1

∴

∴当2＜m＜3时，不能满足条件

∴或

“点睛”此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元一次方程的解及三角形的面积，综合性较强，解答本题的难点在第三问，关键是根据题意进行分类求解，难度较大，一般出是试题的压轴题．