Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明．

解答 （1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{DF=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△FCD≌Rt△BED，
∴CF=EB；
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE．

点评 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．