Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．点Q在直线AB上，点P在x轴上，且∠OQP=90°．
（1）当点P与点A重合时，点Q的坐标为（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
（2）设点P的横坐标为a，则a的取值范围是a≥3或a≤-12．

Answer 1

分析 （1）当点P与点A重合时，OQ⊥AB，求出直线OQ的解析式，解方程组即可解决问题．
（2）分两种情形讨论，当点Q在y轴右侧时，求出OP的最小值，当点Q在y轴左侧时，求出OP的最小值为即可．

解答 解：（1）当点P与点A重合时，OQ⊥AB，
直线OQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{36}{25}}\\{y=\frac{48}{25}}\end{array}\right.$，
∴点Q坐标为（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）．
故答案为（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）．

（2）如图，

当⊙F与AB相切时，设⊙F的半径为R，
在Rt△AQF中，∵∠AQF=90°，AF=4-R，AQ=5-3=2，
∴R²+2²=（4-R）²，
∴R=$\frac{3}{2}$，OP=3，
当⊙E与AB相切时，设⊙E半径为x，
在Rt△AQ₁E中，∵∠AQ₁E=90°，AE=x+4，AQ₁=5+3=8，
∴x²+8²=（x+4）²，
∴x=6，OP=12，
∵当点Q在y轴右侧时，OP的最小值为3，
当点Q在y轴左侧时，OP的最小值为12，
∴点P的横坐标a的范围为a≥3或a≤-12．
故答案为a≥3或a≤-12．

点评 本题考查一次函数、圆的有关知识，解题的关键是学会分类讨论，理解⊙F或⊙E与AB相切时OP最小是解题的关键，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．