Question

20．如图，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于P点．
（1）求证：△ABE∽△ECP；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，使得AP=EP，若能，求出BE的长； 若不能，请说明理由；
（3）当BE为何值时，AP有最小值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到∠AEF=∠B，根据三角形的外角的性质得到∠CEP=∠BAE，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠PAE=∠PEA，证明△CAE∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）设BE=x，AP=y，根据△ABE∽△ECP得到比例式，求出y关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEP=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEP=∠BAE，又∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECP；
（2）解：当AP=EP时，
则∠PAE=∠PEA，
∴∠PAE+∠BAE=∠PEA+∠CEP，
即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{CA}{CB}$，即CA²=CE•CE，
∴6²=（8-BE）×8，
解得，BE=$\frac{7}{2}$；
（3）解：设BE=x，AP=y，
由（1）得△ABE∽△ECP，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{AB}{CE}$，
∵CP=AC-AP=6-y，EC=BC-BE=8-x，
∴$\frac{x}{6-y}$=$\frac{6}{8-x}$，
即y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+6=$\frac{1}{6}$（x-4）²+$\frac{10}{3}$，
∴当x=4时，y有最小值为$\frac{10}{3}$，
∴当BE为4时，AP有最小值．

点评 本题考查的是全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及二次函数的性质，掌握相似三角形的性质定理和判定定理、根据相似三角形的性质得到二次函数的解析式、根据二次函数的性质求出函数的最值是解题的关键．