Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=$\frac{k}{x}$也经过A点，连接BC．

（1）求点A坐标为（2，2）；
（2）判断△ABC的形状，并求出它的面积；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1所示，过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM=AN，即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标为（a，a），又点A在直线y=3x-4上，列出关于a的方程，求出a的值，进而得到A的坐标；
（2）利用勾股定理求出AC，AB以及BC的长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABC形状，进而求出面积即可；
（3）双曲线上是存在一点M（4，1），使得△PAM是等腰直角三角形，理由为：过B作BQ⊥x轴交双曲线于M点，连接AM，如图2所示，过A点作AP⊥AM交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABM，得出AP=AM，那么△APM是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．

解答 解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN，
∴设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得：a=2，
则点A的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）∵A（2，2），
∴ON=BN=2，OB=ON+BN=4，
∴B（4，0），
对于直线y=3x-4，
令x=0，得到y=-4，即C（0，-4），
∴AC²=2²+6²=40，AB²=2²+2²=8，BC²=4²+4²=32，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8；
（3）双曲线上是存在一点M（4，1），使得△PAM是等腰直角三角形．
如图2所示，过B作BM⊥x轴交双曲线于M点，连接AM，过A点作AP⊥AM交x轴于P点，则△APM为所求作的等腰直角三角形，

将点A（2，2）代入反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
解得：k=4，即反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OA=BA，∠OAB=∠PAM=90°，
∴∠OAB-∠PAB=∠PAM-∠PAB，即∠OAP=∠BAM，
在△AOP和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPA=∠BAM}\\{AO=BA}\\{∠AOP=∠ABQ=45°}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△ABM（ASA），
∴AP=AM，
∴△APM是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点M在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，
∴M（4，1）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．