【题目】如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA方向向点A运动,△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.
(1)当t为何值时,点F在线段AC上.
(2)当0<t<4时,求∠AEF与∠BDF的数量关系;
(3)当点B、E、F三点共线时,求证:点F为线段BE的中点.
【答案】(1)t=1s;(2)当0<t≤1时,∠BDF﹣∠AEF=120°;当1<t<4时,∠BDF+∠AEF=120°;(3)详见解析.
【解析】
(1)由折叠的性质可得DF=DC,EF=EC,可证△DCF是等边三角形,可求CE的长,即可求解;
(2)分两种情况讨论,由折叠的性质和四边形内角和定理可求解;
(3)过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明△BGD∽△BHE,可求EC的长,即可得结论.
解:(1)∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴DF=DC,EF=EC,且点F在AC上,∠C=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∴CD=CF=AB﹣BD=2,
∴CE=1,
∴t==1s;
(2)如图1,当0<t≤1时,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴∠F=∠C=60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED,
∵∠C+∠CDE+∠CED=180°,
∴∠C+∠F+∠CDE+∠EDF+∠CED+∠FED=360°,
∴∠CDF+180°+∠AEF=360°﹣120°
∴180°﹣∠BDF+180°+∠AEF=240°,
∴∠BDF﹣∠AEF=120°;
如图2,当1<t<4时,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴∠F=∠C=60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED,
∵∠FDC+∠C+∠F+∠CEF=360°,
∴180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF=360°,
∴∠BDF+∠AEF=120°;
(3)如图3,过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE
∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,EF=EC,
∵GD⊥EF,∠EFD=60°
∴FG=1,DG=FG=
,
∵BD2=BG2+DG2,
∴16=3+(BF+1)2,
∴BF=
∴BG=,
∵EH⊥BC,∠C=60°
∴CH=,EH=
HC=
EC,
∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°
∴△BGD∽△BHE,
∴,
∴,
∴EC=﹣1,
∴EC=EF=BF=﹣1,
∴点F是线段BE的中点.
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【题目】(9分) “先学后教”课题组对学生参与小组合作的深度和广度进行评价,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.课题组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制了如图两幅不完整的统计图,请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了______名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)求出扇形统计图中,“主动质疑”所对应扇形的圆心角的度数.
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【题目】某商场为了吸引顾客,设立了可以自由转动的转盘(如图,转盘被均匀分为20份),并规定:顾客每购买200元的商品,就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券,凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转转盘,那么可以直接获得购物券30元.
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率;
(2)转转盘和直接获得购物券,你认为哪种方式对顾客更合算?
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【题目】小明和小亮玩一种游戏:三张大小,质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则小明胜,若和为偶数则小亮胜.
(1)用列表或画树状图等方法,列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况.
(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
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【题目】如图,在和
中,
、
、
、
在同一直线上,下面有四个条件:
①;②
;③
;④
.请你从中选三个作为题设,余下的一个作为结论,写出一个真命题,并加以证明.
解:我写的真命题是:
已知:____________________________________________;
求证:___________.(注:不能只填序号)
证明如下:
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【题目】某公司组织员工到附近的景点旅游,根据旅行社提供的收费方案,绘制了如图所示的图象,图中折线ABCD表示人均收费y(元)与参加旅游的人数x(人)之间的函数关系.
(1)当参加旅游的人数不超过10人时,人均收费为 元;
(2)如果该公司支付给旅行社3600元,那么参加这次旅游的人数是多少?
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【题目】如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1A1至A2,B2,C2,使得A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2…,按此规律继续下去.第n次操作得到△AnBnn,则S1=_____,△AnBnn的面积Sn=_____.
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【题目】如图,点O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的两个顶点,以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1,再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1,…,依此规律,则点A2017的坐标是( )
A. (0,21008) B. (21008,21008) C. (21009,0) D. (21009,-21009)
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