Question

【题目】如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA方向向点A运动，△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．

（1）当t为何值时，点F在线段AC上．

（2）当0＜t＜4时，求∠AEF与∠BDF的数量关系；

（3）当点B、E、F三点共线时，求证：点F为线段BE的中点．

Answer 1

【答案】（1）t＝1s；（2）当0＜t≤1时，∠BDF﹣∠AEF＝120°；当1＜t＜4时，∠BDF+∠AEF＝120°；（3）详见解析．

【解析】

（1）由折叠的性质可得DF＝DC，EF＝EC，可证△DCF是等边三角形，可求CE的长，即可求解；

（2）分两种情况讨论，由折叠的性质和四边形内角和定理可求解；

（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可得结论．

解：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，

∴DF＝DC，EF＝EC，且点F在AC上，∠C＝60°，

∴△DCF是等边三角形，

∴CD＝CF＝AB﹣BD＝2，

∴CE＝1，

∴t＝＝1s；

（2）如图1，当0＜t≤1时，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，

∴∠F＝∠C＝60°，∠FDE＝∠CDE，∠CED＝∠FED，

∵∠C+∠CDE+∠CED＝180°，

∴∠C+∠F+∠CDE+∠EDF+∠CED+∠FED＝360°，

∴∠CDF+180°+∠AEF＝360°﹣120°

∴180°﹣∠BDF+180°+∠AEF＝240°，

∴∠BDF﹣∠AEF＝120°；

如图2，当1＜t＜4时，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，

∴∠F＝∠C＝60°，∠FDE＝∠CDE，∠CED＝∠FED，

∵∠FDC+∠C+∠F+∠CEF＝360°，

∴180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF＝360°，

∴∠BDF+∠AEF＝120°；

（3）如图3，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE

∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°，EF＝EC，

∵GD⊥EF，∠EFD＝60°

∴FG＝1，DG＝FG＝，

∵BD2＝BG2+DG2，

∴16＝3+（BF+1）2，

∴BF＝

∴BG＝，

∵EH⊥BC，∠C＝60°

∴CH＝，EH＝HC＝EC，

∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°

∴△BGD∽△BHE，

∴,

∴，

∴EC＝﹣1，

∴EC＝EF＝BF＝﹣1，

∴点F是线段BE的中点．