Question

如图，已知△ABC三顶点在⊙O上，D为

BC

的中点，AD与BC相交于点E，AC的延长线交过C、D、E三点的圆⊙O₁于点F．
（1）求证：∠BAD=∠DFE；
（2）求证：△AEC∽△FED；
（3）AB=AD是否成立？若成立则证明之，若不成立，则请你增加一个条件使其成立，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CD，根据等弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠BCD=∠EFD；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得到∠CAE=∠BAD，结合（1）中的结论得到∠CAE=∠EFD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ACE=∠FDE，从而证明三角形相似；
（3）能够根据结论分析探讨需要满足的条件，熟练运用圆周角定理的推论进行角之间的转换．

解答：（1）证明：连接CD，
∵∠ABD=∠BCD，∠BCD=∠EFD，
∴∠BAD=∠EFD．

（2）证明：∵D为

BC

的中点，
∴∠CAE=∠BAD．
∴∠CAE=∠EFD．
又∵∠AEC=∠EDF，
∴△ACE∽△FDE．

（3）解：由题设不足以说明AB=AD．
若AB=AD，则∠ABD=∠ADB，
由A、B、D、C四点在⊙O上知∠FCD=∠ABD，
又在⊙O₁中，∠FCD=∠FED，∠FED=∠ADB，
只须增加条件∠FED=∠ADB，
即EF∥BD，
逆推之，即可证明AD=AB．

点评：综合运用了圆周角定理推论、圆内接四边形的性质以及相似三角形的性质和判定．连接两圆的公共弦也是圆中常见的辅助线之一．