Question

已知抛物线y=x²+kx+k-1．
（1）求证：无论k为什么实数，抛物线经过x轴上的一定点；
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且满足x₁＜x₂，|x₁|＜|x₂|，S_△ABC=6．问：过A，B，C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程x²+kx+k-1=0，即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标，定点为与k值无关的点；
（2）过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D，根据A、B、C三点坐标，讨论k的范围，表示△ABC的面积，列方程求k，再根据对称性求D点坐标．

解答：（1）证明：令y=O，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴抛物线通过x轴上一定点（-1，0）．

（2）解：过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D．
∵|x₁|＜|x₂|，C点在y轴上，
∴点C不是抛物线的顶点，
由于圆和抛物线都是轴对称图形，
过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形，
所以过A、B、C三点的圆与抛物线的第四个交点与C点是对称点．
∵x₁=-1＜0，x₁＜x₂，|x₁|＜|x₂|，
∴x₂＞1，
即x₂=1-k＞1，
∴k＜0
∵S_△ABC=6，
∴

1

2

|1-k|•（1+|1-k|）=6
∴（1-k）²+（1-k）-12=0，
解得1-k=4或1-k=3．
∴k=5（舍去），k=-2，
∴y=x²-2x-3，
其对称轴为x=1，
根据对称性，D点坐标为（2，-3）．

点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，根据面积确定抛物线解析式的待定系数及抛物线的对称性的运用．