Question

已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）由△=b²-4ac可写出用m表示的△关系式，分别讨论m在取不同的值时二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）由根与系数的关系可把x₁²+x₂²转换为m的表达式，由此可得方程2m²-10m-7=5，求出m的值可得二次函数解析式；则根据函数表达式可求出顶点M及与y轴交点C的坐标，使用代入法可求得直线CM的解析式．

解答：解：（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15，
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0，
∴m＜-

15

16

，
此时y的图象与x轴有两个交点；
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0，
∴m=-

15

16

，
此时，y的图象与x轴只有一个交点；
当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0，
∴m＞-

15

16

，
此时y的图象与x轴没有交点．
∴当m＜-

15

16

时，y的图象与x轴有两个交点；
当m=-

15

16

时，y的图象与x轴只有一个交点；
当m＞-

15

16

时，y的图象与x轴没有交点．

（2）由根与系数的关系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7，
∵x₁²+x₂²=5，
∴2m²-10m-7=5，
∴m²-5m-6=0，
解得：m₁=6，m₂=-1，
∵m＜-

15

16

，
∴m=-1，
∴y=x²+3x+2，
令x=0，得y=2，
∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2），
又y=x²+3x+2=（x+

3

2

）²-

1

4

，
∴顶点M的坐标为（-

3

2

，-

1

4

），
设过C（0，2）与M（-

3

2

，-

1

4

）的直线解析式为y=kx+b，
解得k=

3

2

，b=2，
∴所求的解析式为y=

3

2

x+2．

点评：本题考查了一元二次方程中△的应用，考查了学生分类讨论问题的能力；需注意灵活运用一元二次方程中根与系数的关系的求函数解析式；求函数解析式一般要用待定系数法．