Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BC：EC=4：1，F是DC的中点．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若正方形的边长为4，求△AEF的面积．

Answer 1

分析：（1）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF²、EF²、AE²，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形；
（2）把（1）的4a换成4，然后求出AF、EF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）△AEF是直角三角形．
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵F是DC的中点，
∴DF=CF=2a，
∵BC：EC=4：1，
∴EC=a，BE=4a-a=3a，
在Rt△ADF中，AF²=（4a）²+（2a）²=20a²，
在Rt△ECF中，EF²=（2a）²+a²=5a²，
在Rt△ABE中，AE²=（4a）²+（3a）²=25a²，
∴AF²+EF²=AE²，
∴△AEF是直角三角形；

（2）正方形的边长为4时，4a=4，a=1，
AF=

20

=2

5

，
EF=

5

，
△AEF的面积=

1

2

AF•EF=

1

2

×2

5

×

5

=5．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF的各边的平方是解题的关键．