Question

已知在菱形ABCD中，E是BC的中点，且∠FAE=∠BAE．
（1）如图，当点F在边DC的延长线上时，求证：AF=BC-CF；
（2）当点F与点C重合时，求∠B的度数，并说明理由；
（3）当点F在边DC上时，（1）中求证的结论还成立吗？若不成立，请直接写出成立的结论；
（4）当∠B=90°时，请确定点F的位置．

Answer 1

分析：（1）先根据E是BC的中点，结合菱形的对边平行，证明△ABE与△GCE全等，从而得到BC=CG，再根据菱形的四条边都相等，BC=CG，结合图形边不难证出；
（2）F与C重合，根据（1）中的结论，可以得到AC=CG=AB，也就是对角线AC等于菱形的边长，所以△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的内角是60°即可求解；
（3）很明显，AF=FG，大于CG，也就是BC的长度，所以结论不成立，根据线段的和差关系写出结论即可；
（4）∠B=90°时，菱形ABCD为正方形，设正方形的边长为x，在△ADF中，分别表示出AF、FD的长度，然后利用勾股定理列式整理即可得到CF与边长的关系，从而得到点F的位置．

解答：（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠G，
在△ABE与△GCE中，

∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC BE=CE

，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB=CG，
又∵∠FAE=∠BAE，
∴∠FAE=∠G，
∴AF=FG，
∴AF=CG-CF=BC-CF；

解：（2）∵F与点C重合，
∴CF=0，AF=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°；

（3）不成立．
∵AF=FG，BC=CG，
∴AF=FG=CG+CF，
即AF=BC+CF；

（4）∵∠B=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
设正方形的边长为x，则
AD=x，AF=FG=BC+CF=x+CF，FD=CD-CF=x-CF，
在△AFD中，AF²=AD²+FD²，
即（x+CF）²=x²+（x-CF）²，
整理得CF=

1

4

x，
即CF=

1

4

CD．

点评：本题主要考查了菱形的性质与全等三角形的判定与性质，此类题目中考中常见，利用好第一问的结论和解题思路是关键．