Question

已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的两个不相等实根中有一个是0．
（1）请求出m的值；
（2）是否存在实数k，使关于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的两个实根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据△的意义得到m＞-1，再把x=0代入方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0得m²-2m-3=0，解得m₁=3，m₂=-1，即可得到满足条件的m的值；
（2）把m=3代入方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0得x²-（k-3）x-k+4=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4，然后由|x₁-x₂︳=1变形得（x₁-x₂）²=1，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂-1=0
再把x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4代入得到关于k的方程，然后解方程，若k有实数解并且使原方程也有解，就可判断存在．
解答：解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的两个不相等实根，
∴△=4（m+1）²-4（m²-2m-3）＞0，
∴m＞-1，
把x=0代入方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0得m²-2m-3=0，
∵（m-3）（m+1）=0，
∴m₁=3，m₂=-1，
而m＞-1，
∴m的值为3；
（2）存在．
把m=3代入方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0得
x²-（k-3）x-k+4=0，
∴x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4，
∵|x₁-x₂︳=1，
∴（x₁-x₂）²=1，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂-1=0
（k-3）²-4（-k+4）-1=0，
整理得k²-2k-8=0，
k₁=4，k₂=-2，
当k=4和-2时方程x²-（k-3）x-k+4=0都有两个实数，
∴存在实数k，使关于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的两个实根x₁，x₂之差的绝对值为1．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．