Question

如图，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

(1)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD＝BD． 　　∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． 　　∴E是△ABC的自相似点． 　　(2)①作图略． 　　作法如下：(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A； 　　(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P． 　　则P为△ABC的自相似点． 　　②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，． 　　∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC． 　　∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A， 　　∠ACB＝2∠BCP＝4∠A．∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°． 　　∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°． 　　∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．