Question

在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是BC的中点，点E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）求证：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CP，再利用SAS得到撒尿性EDF和三角形PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（2）连接AD，由AB=AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC-CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．

解答：解：（1）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，

ED=PD ∠EDB=∠PDC BD=CD

，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CPD，
在△EDF和△PDF中，

DE=DP ∠EDF=∠PDE=90° DF=DF

，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴EF²=BE²+CF²；
（2）连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，

∠EAD=∠FCD AD=DC ∠ADE=∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB=AE+EB=5+12=17，
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12，
在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF=

AE2+AF2

=13，
设DE=DF=x，
根据勾股定理得：x²+x²=13²，
解得：x=

13 2

2

，即DE=DF=

13 2

2

，
则S_△DEF=

1

2

DE•DF=

169

4

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．