Question

如图，已知四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，P是BD对角线上一点，EP延长线交AD延长线于点M，PF延长线交BC延长线于点N，证明：直线EF平分MN．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：取BD中点G，连结EG、FG，延长ME到H，使HE=ME，连结HB、HN．由三角形中位线定理得出EG∥AD，GF∥BC．利用SAS证明△BEH≌△AEM（SAS），得到∠BHE=∠AME，于是BH∥AM，由EG∥AM，得出EG∥BH，根据平行线分线段成比例定理得出

PG

PB

=

PE

PH

，由GF∥BN，根据平行线分线段成比例定理得出

PG

PB

=

PF

PN

，那么

PE

PH

=

PF

PN

，EF∥HN．再设直线EF与MN交于点I，在△MHN中，根据平行线分线段成比例即可证明MI=IN．

解答：证明：取BD中点G，连结EG、FG，延长ME到H，使HE=ME，连结HB、HN．
∵E是AB中点，G是BD中点，
∴EG∥AD，同理GF∥BC．
易证△BEH≌△AEM（SAS），
∴∠BHE=∠AME，
∴BH∥AM，
∵EG∥AM，
∴EG∥BH，
∴

PG

PB

=

PE

PH

，
∵GF∥BN，
∴

PG

PB

=

PF

PN

，
∴

PE

PH

=

PF

PN

，
∴EF∥HN．
设直线EF与MN交于点I，
在△MHN中，∵EI∥HN，HE=ME，
∴

MI

IN

=

ME

EH

=1，
∴MI=IN，
即直线EF平分MN．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．