Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若

AE

AD

=

1

3

，则

AC

AE

=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：连结BD，根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出：AE²+AD²=2AC²．由此易求

AC

AE

的值．

解答：解：如图，连结BD．
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，

AC=BC   ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．
又∵

AE

AD

=

1

3

，
∴AD=3AE，
∴10AE²=2AC²．
∴

AC

AE

=

5

1

故答案是：

5

：1．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．