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    如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x=-3．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=
    2
    5
    DF    ，求出此时点M的坐标；
    （3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （1）∵OC=4，
    ∴点C的坐标为（0，4）．
    ∴c=4，则抛物线解析式为y=ax2+bx+4．
    ∵AO=2OC，则AO=8，
    ∴点A的坐标为（-8，0）．
    又∵抛物线对称轴为直线x=-3，
    ∴点B的坐标为（2，O）．
    ∴
    0=64a-8b+4
    0=4a+2b+4
    ，
    解得
    a=-
    1
    4
    b=-
    3
    2
    ．
    ∴该抛物线的函数表达式为y=-
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+4    ．（3分）

    （2）∵矩形DEFG中FG∥ED，设FG与y轴交于点H，
    ∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
    ∴
    FH
    AO
    =
    CH
    CO
    =
    HG
    OB
    ，即
    FH
    8
    =
    m
    2
    ．
    ∴FH=4m，故FG=5m．
    设直线BC的解析式为：y=kx+b1，则
    4=b1
    0=3k+b1
    ，
    解得
    k=-2
    b1=4
    ．
    ∴直线BC的解析式为y=-2x+4，则点G的坐标为（m，-2m+4）
    ∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）2+10（5分）
    ∵0≤m≤2，
    ∴当m=1时，S最大．此时OD=1，OE=4，∴DE=5．
    过M作MM1⊥x轴于M1，则△MM1D∽△FED，
    ∴
    MM1
    FE
    =
    MD
    DF
    =
    DM1
    DE

    ∵FM=
    2
    5
    DF    ，
    ∴
    MD
    DF
    =
    7
    5
    ．则
    MM1
    2
    =
    DM1
    5
    =
    7
    5
    ．
    ∴MM1=
    14
    5
    ，DM1=7，则OM1=6．
    ∴此时点M的坐标为(-6，
    14
    5
    )    ．（7分）

    （3）存在．理由如下：
    ∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4，
    ∴yQ=6，
    ∴点Q坐标为（-4，6），
    设P的坐标为（0，n），在△BPQ中，
    若∠BQP为直角，则PQ2+BQ2=BP2，
    ∴42+（n-6）2+62+（2+4）2=22+n2，
    解得n=10，
    此时点P的坐标为（0，10）．（8分）
    若∠QBP为直角，则PQ2=BQ2+BP2，
    ∴42+（6-n）2=62+（2+4）2+22+n2，
    解得n=-2，
    此时点P的坐标为（0，-2）．（9分）
    若∠QPB为直角，则BQ2=BP2+PQ2，
    ∴62+（2+4）2=42+（n-6）2+22+n2，
    解得n1=3+
    		17
    ，n2=3-
    		17

    此时点P的坐标为(0，3+
    		17
    )    或(0，3-
    		17
    )    ．（11分）
    综上所述，存在这样的点P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的点P的坐标为：
    （O，10）或（0，-2）或(0，3+
    		17
    )    或(0，3-
    		17
    )    ．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．
    （1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
    （2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．
    （1）求抛物线C的解析式；
    （2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．
    ①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
    ②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O-B-A于点E1，F1，再分别以线段EE1，FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2，等边△FF1F2．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）三点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若抛物线的顶点为D，求sin∠BOD的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，抛物线y=ax2+bx-5经过A、B、C三点且交CD于F，线段AD所在直线的函数解析式为y=-3x+3．
    ①求点A、D的坐标；
    ②若ABCD的面积为12，求抛物线的函数解析式；
    ③在②的条件下，请问抛物线上是否存在点P，使得以CD、CP为邻边的平行四边形的面积是ABCD面积的
    1
    6
    ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（3，0）．
    （1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，-3），求此抛物线的顶点坐标；
    （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
    （3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求此抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C（xC，yC）作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于
    3
    8
    xC2．
    （1）求点C的坐标；
    （2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2+h0过点P、Q，抛物线y=a1x2+h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1（p+1，3）为例进行验证；
    ②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，关于x的二次函数y=x2-2mx-m-2的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于C点
    （1）当m为何值时，AC=BC；
    （2）当∠BAC=∠BCO时，求这个二次函数的表达式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
    （1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
    （2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

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