Question

如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂线AE分别与BD及BC的延长线交于点E，F，且CF：CB=1：2．
（1）求ED：EB的值；
（2）设DB=x，AF=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）先根据CF：CB=1：2求出BC：BF的值，再根据△ADE∽△BFE，其对应边成比例解答即可．
（2）根据（1）求出的△ADE∽△BFE，

ED

EB

=

BC

BF

=

2

3

，可求出AB及BF的长，再根据勾股定理即可求出x、y的函数关系式．

解答：解：（1）∵CF：CB=1：2，
∴BC：BF=2：3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ADB=∠DBF，∠BFA=∠DAE，
∴△ADE∽△FBE，
∴

AD

BF

=

ED

EB

，即

BC

BF

=

ED

EB

=

2

3

．

（2）由（1）△ADE∽△BFE，

ED

EB

=

2

3

，
可设DE=

2

5

x，BE=

3

5

x，EF=

3

5

y，
由射影定理可求出AB²=BE•BD，
即AB²=

3

5

x•x=

3

5

x²，BF²=EF•AF=

3

5

y²，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF²=AB²+BF²，
即y²=

3

5

x²+

3

5

y²，2y=3x．

点评：此题比较复杂，解答此特的关键是熟练掌握相似三角形、矩形、直角三角形的性质等相关概念．