Question

7．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．
①若MN=EF，则MN⊥EF；
②若MN⊥EF，则MN=EF．
你认为正确的是②．（填序号）

Answer 1

分析 过F作FP⊥AD，过N作NQ⊥AB，交于点H，分两种情况证明△MNQ≌Rt△EFP后，利用全等三角形的性质即可判断．

解答 解：过F作FP⊥AD，过N作NQ⊥AB，交于点H
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠D=∠B=∠C=90°，
∴四边形AQND和四边形PFCD都为矩形，
∴QN=PF=CD=AD，
①若MN=EF，
在Rt△MNQ和Rt△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=EF}\\{QN=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△MNQ≌Rt△EFP（HL），
∴∠QNM=∠PFE，
∵∠FHN=90°，
∴MN⊥EF，
若EF如右图所示时，此时EF与MN不垂直
故①不正确；
②若MN⊥EF，∠FHN=90°
∴∠QNM=∠PFE，
在Rt△MNQ和Rt△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNQ=∠EFP}\\{∠MQN=∠EPF}\\{QN=PF}\end{array}\right.$
∴Rt△MNQ≌Rt△EFP（AAS），
∴MN=EF
故②正确，
故答案为：②

点评 本题考查正方形的性质，涉及全等三角形的性质与判定，分类讨论的思想，属于中等题型．