Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP=$\sqrt{2}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（Ⅱ）方法1、先判断出OC=$\frac{1}{2}$ED，OC=$\frac{1}{2}$PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．
方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出$\frac{DP}{PE}=\frac{4}{3}$，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP=CD时，AP=AC-CP=10-6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP=$\frac{1}{2}$AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•DC=$\frac{1}{2}$AC•DQ，
∴DQ=$\frac{AD•DC}{AC}$=$\frac{24}{5}$，
∴CQ=$\sqrt{D{C}^{2}-D{Q}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴PC=2CQ=$\frac{36}{5}$，
∴AP=AC-PC=10-$\frac{36}{5}$=$\frac{14}{5}$；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或$\frac{14}{5}$；

（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC=$\frac{1}{2}$ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC=$\frac{1}{2}$PF，
∵OP=OF=$\frac{1}{2}$PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴$\frac{CF}{AP}=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
∵AP=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

方法2、如图，

∵四边形ABCD和DPEF是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠DGF+∠CDF=90°，
∴∠EGC+∠CDF=90°，
∵∠CEF+∠CGE=90°，
∴∠CDF=∠FEC，
∴点E，C，F，D四点共圆，
∵四边形DPEF是矩形，
∴点P也在此圆上，
∵PE=DF，∴$\widehat{PE}=\widehat{DF}$，
∴∠ACB=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAP，
∴∠DAP=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴$\frac{CF}{AP}=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，
∵AP=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

方法3、如图3，
过点P作PM⊥BC于M交AD于N，
∴∠PND=90°，
∵PN∥CD，
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{AN}{8}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴AN=$\frac{4}{5}\sqrt{2}$，
∴ND=8-$\frac{4}{5}\sqrt{2}$=$\frac{4}{5}$（10-$\sqrt{2}$）
同理：PM=$\frac{3}{5}$（10-$\sqrt{2}$）
∵∠PND=90°，
∴∠DPN+∠PDN=90°，
∵四边形PEFD是矩形，
∴∠DPE=90°，
∴∠DPN+∠EPM=90°，
∴∠PDN=∠EPM，
∵∠PND=∠EMP=90°，
∴△PND∽△EMP，
∴$\frac{PD}{PE}=\frac{ND}{PM}$=$\frac{4}{3}$，
∵PD=EF，DF=PE．
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{4}{3}$，
∵$\frac{AD}{CD}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{AD}{CD}$，∵∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴$\frac{AP}{CF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{4}{3}$，
∵AP=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．