在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在射线CB上.且CE=DE．(1)特殊情况.探索结论如图1.当点E是AB中点时.确定线段AE与BD的大小关系.请你直接写出结论:AE=BD．(2)特例启发.问题探究如图2.当点E是线段AB上除端点和中点外的任一点时.此时.(1)中的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明．(3)拓展延伸如图3.当点E在BA的延长线上时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在射线CB上，且CE=DE．

（1）特殊情况，探索结论
如图1，当点E是AB中点时，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出结论：AE=BD（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）特例启发，问题探究
如图2，当点E是线段AB上除端点和中点外的任一点时，此时，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点E在BA的延长线上时，点D在BC边上，且CE=DE，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

分析（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE=30°，AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠ECD=30°，根据三角形的外角的性质得到∠DEB=30°即可得到结论；
（2）如图2，过E作EF∥BC交AC于F，根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，根据平行线的性质得到∠AEF=∠AFE=60°推出△AEF是等边三角形，根据全等三角形的性质得到BD=FE，等量代换得到结论；
（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F，于是得到∠1=∠F，根据等边三角形的性质得到∠EAF=∠2=∠F=60°，根据全等三角形的性质得到BD=EF，等量代换得到结论．

解答解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是AB中点，
∴∠BCE=30°，AE=BE，
∵DE=CE，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴AE=BD；

（2）（1）中的结论不发生变化，
理由：如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠3=120°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠4=120°，
∴∠3=∠4，
∵DE=CE，
∴∠D=∠1，
∴∠D=∠2，
在△BDE与△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠2}\\{∠3=∠4}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC，
∴BD=FE，
∴AE=BD；

（3）不发生变化，
理由：过E作EF∥BC交CA的延长线于F，
∴∠1=∠F，∠BCE+∠CEF=180°，
∵∠B=∠1=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠2=∠F=60°，
∴AE=EF，∠F=∠B，
∵DE=CE，
∴∠3=∠BCE，
∵∠3+∠4=180°，
∴∠4=∠CEF，
在△BDE与△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠CEF}\\{∠B=∠F}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC，
∴BD=EF，
∴AE=BD．

点评本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．

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