Question

【题目】某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数p＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：

Q＝

（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为W（单位：万元）．

①求W关于t的函数解析式；

②第几个月销售该原料药的月毛利润最大？对应的月销售量是多少？

Answer 1

【答案】（1）p＝t+2;（2）①见解析;②第21个月， 529元.

【解析】

（1）设8＜t≤24时，p＝kt+b，把A,B点代入即可解答.

（2）①根据题意分情况进行讨论当0＜t≤8时，w＝240；当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88；②分情况讨论：当8＜t≤12时，w＝2（t+3）2﹣2；t＝12时，取最大值，W＝448；当12＜t≤24时，w＝﹣（t﹣21）2+529，当t＝21时取得最大值529；

解：

（1）设8＜t≤24时，p＝kt+b

将A（8，10）、B（24，26）代入，得

，解得

∴当8＜t≤24时，P关于t的函数解析式为：p＝t+2

（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240

当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16

当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88

综上所述，W关于t的函数解析式为：

②当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2

∵8＜t≤12时，W随t的增大而增大

∴t＝12时，取最大值，W＝2（12+3）2﹣2＝448,

当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529

∵12＜t≤24时，当t＝21时取得最大值，此时的最大值为529

∴第21个月销售该原料药的月毛利润最大，对应的月销售量是529元.