如图.直线AB与坐标轴分别交于点A.点B.且OA.OB的长分别为方程x2-6x+8=0的两个根(OA＜OB).点C在y轴上.且OA:AC=2:5.直线CD垂直于直线AB于点P.交x轴于点D．(1)求出点A.点B的坐标．(2)请求出直线CD的解析式．(3)若点M为坐标平面内任意一点.在坐标平面内是否存在这样的点M.使以点B.P.D.M为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请直接写出点M的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x²-6x+8=0的两个根（OA＜

OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D．
（1）求出点A、点B的坐标．
（2）请求出直线CD的解析式．
（3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐标；
（2）首先利用角之间的关系得出△BOA∽△COD，即可得出D点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）先求出P点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD时M在第三象限分别分析直接得出答案．

解答：解：（1）∵x²-6x+8=0，
∴x₁=4，x₂=2（1分），
∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B，
∴0A=2，0B=4（1分），
∴A（0，2），B（-4，0）（1分）；

（2）∵0A：AC=2：5，OA=2，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）（1分），
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD，
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴

，
∴OD=

OA•CO

2×7

（1分），
∴D（

，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，7），D（

，0）分别代入得：

b=7

k+b=0

，
∴

b=7

k=-2

（1分），

∴y_CD=-2x+7（1分）；

（3）存在，
∵A（0，2），B（-4，0），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴

b=2

-4k+b=0

，
解得：

b=2

，
故直线AB的解析式为：y=

x+2，
将直线AB与直线CD联立

x+2

y=-2x+7

，
解得：

x=2

y=3

，
∴P点坐标（2，3），
∵D（

，0），B（-4，0），
∴BD=7.5，
当PM₁BD是平形四边形，
则BD=PM₁=7.5，
∴AM₁=5.5，

∴M₁（-5.5，3），
当PBDM₂是平形四边形，
则BD=PM₂=7.5，
∴AM₂=9.5，
∴M₂（9.5，3），
P到x轴距离等于M₃到x轴距离，故M₃的纵坐标为-3，
∵BE=DF=BD-DE=6，
∴FO=6-3.5=2.5，
∴M₃的横坐标为-2.5，
∴M₃的坐标为（-2.5，-3）；
综上所述M点的坐标为：M₁（-5.5，3），M₂（9.5，3），M₃（-2.5，-3）（3分）．
注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定和一元二次方程的解法等知识，相似三角形与函数经常综合出现，同学们应注意灵活应用．

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