在平面直角坐标系中.已知抛物线y=-12x2+bx+c的顶点为P．等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为.直角顶点B在第四象限．(1)如图.若该抛物线过A.B两点.求该抛物线的函数表达式,中点A.点P处出发.同速.同向在直线AC上运动.当以DE为对角线的正方形DMEN的一顶点M落在抛物线y=-12x2+bx+c时.N点坐标 ,中的抛物线.使顶点P在射线AC上滑动.平移后的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P．等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）点D、点E分别从（1）中点A、点P处出发，同速、同向在直线AC上运动，当以DE为对角线的正方形DMEN的一顶点M落在抛物线y=-

x²+bx+c时，N点坐标

；
（3）平移（1）中的抛物线，使顶点P在射线AC上滑动，平移后的抛物线与原抛物线交点为Q，若∠BAQ=∠CAB，求出此时抛物线的函数表达式．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先利用含字母m的代数式，求出正方形DMEN四点的坐标：D（m，m-1）、E（m+2，m+1）、M（m+2，m-1）、N（m，m+1）；然后根据点M（m+2，m-1）在抛物线上，列方程求出m的值，从而求得点N的坐标；
（3）首先设平移后的抛物线解析式为y=-

（x-2-n）²+1+n（n＞0）①．其次，求出符合条件的点Q的坐标，分别为（2，1）和（6，-7），将点Q坐标分别代入①式，求出n的值，进而分别求出所求抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为y=x-1，即直线AC与x轴正半轴夹角为45°．
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB∥x轴，BC∥y轴，∴B（4，-1）．
∵点A（0，-1）、B（4，-1）在抛物线y=-

x²+bx+c上，
∴

c=-1

-8+4b+c=-1

，解得b=2，c=-1．
∴y=-

x²+2x-1．

（2）∵y=-

x²+2x-1=-

（x-2）²+1，
∴P（2，1），易得AP=2

．
由题意可知，DE=2

，正方形DMEN的边长为2，如答图1所示．

由点D在直线y=x-1上，可设D（m，m-1），则E（m+2，m+1）、M（m+2，m-1）、N（m，m+1）．
∵点M在在抛物线y=-

x²+2x-1上，
∴m-1=-

（m+2）²+2（m+2）-1，
整理得：m²+2m-4=0，解得m=

-1或-

-1．
∴N点坐标为（

-1，

）或（-

-1，-

）．

（3）设平移后的抛物线解析式为：y=-

（x-2-n）²+1+n（n＞0）①．
由题意可知，符合条件的点Q有两个：
（i）当点Q与点P重合时，
此时Q（2，1）
将点Q坐标代入①式得：1=-

（2-2-n）²+1+n，解得：n=2
∴y=-

（x-4）²+3；
（ii）当AQ⊥AC时，
易知此时直线AQ解析式为：y=-x-1，
联立直线AQ与抛物线的解析式得：-x-1=-

x²+2x-1，
解得x=0（舍去）或x=6，∴Q（6，-7）．
将点Q坐标代入①式得：-7=-

（6-2-n）²+1+n，解得：n=10
∴y=-

（x-12）²+11．
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：y=-

（x-4）²+3或y=-

（x-12）²+11．

点评：本题是二次函数与几何变换的综合题型，题目综合性较强，有一定的难度．第（2）（3）问均涉及平移变换，要注意在平移变换中变化的量与不变的量，要能正确写出平移后抛物线的解析式．

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（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）

；
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；
证明二：我选择的是

；

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，点H对应的数轴上的数是

；
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（3）如图（2），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，求∠N+∠M的值．