Question

探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S₁，则S₁=______（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=______（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S₃，则S₃=______（用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的______倍．
应用：
去年在面积为10m²的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m²？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形的面积公式，得到等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的7²=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．
解答：解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S₁=a；

（2）2a；（2分）
理由：连接AD，

∵CD=BC，AE=CA，
∴S_△DAC=S_△DAE=S_△ABC=a，
∴S₂=2a；

（3）结合（2）得：2a×3=6a；
扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．
应用拓展区域的面积：（7²-1）×10=480（m²）．
点评：命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．