已知:在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.点A的坐标为(0.2).以OA为直径作圆B．若点D是x轴上的一动点.连接AD交圆B于点C．(1)当tan∠DAO=时.求直线BC的解析式,(2)过点D作DP∥y轴与过B.C两点的直线交于点P.请任意求出三个符合条件的点P的坐标.并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式,中的条件.点M的坐标为.求线段PM与PB的和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2004•海淀区）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B．若点D是x轴上的一动点，连接AD交圆B于点C．
（1）当tan∠DAO=

时，求直线BC的解析式；
（2）过点D作DP∥y轴与过B、C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；
（3）若点P满足（2）中的条件，点M的坐标为（-3，3），求线段PM与PB的和的最小值，并求出此时点P的坐标．

【答案】分析：（1）直径是OA，圆心为B，故B（0，1），根据tan∠1=tan∠2=

，分别解直角△OKC，△AKC可得C点坐标为（

，

），又A（0，2），可求出直线BC解析式；
（2）本题答案不唯一，可选定点D的坐标，推出点P的坐标，最好选择关于y轴的对称点，使抛物线解析式简单一些；
（3）由于BC=BA，PD∥y轴，则PC=PD，将问题进行转化，PM+PB=PM+PC+CB=PM+PD+CB，故只有当直线DP经过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小，由切割线定理求CD，由平行的相似三角形，利用相似比求PD，确定P点坐标．
解答：

解：（1）如图所示，当点D在x轴的正半轴上时，连接OC，过C点作CK⊥y轴于点K．
∵OA为圆B的直径，点C在圆B上
∴∠ACO=90°
∴∠1=∠2
∵tan∠1=

∴tan∠2=

设OK的长为x，则KC=2x，可得AK=4x
∵点A的坐标为（0，2），OK+KA=OA
∴点B的坐标为（0，1），5x=2
∴x=

∴KC=

∴点C的坐标为（

，

）
设直线BC的解析式为y=kx+1（k≠1），
得：

k+1
∴k=-

∴直线BC的解析式为y=-

x+1
当点D在x轴的负半轴上时，同理可得直线BC的解析式为y=

x+1
∴满足题意的直线BC的解析式为y=-

x+1或y=

x+1．

（2）∵DP∥y轴
∴DP⊥x轴
当点D位于如图的位置时，有D（1，0）
可得P点的纵坐标为y=-

×1+1=

∴点P的坐标为（1，

）
如图所示，当点D的坐标为（2，0）时，△AOD为等腰三角形

连接OC
∵OA为圆B的直径
∴OC⊥AD
∴C为AD中点
∴BC∥OD
又∵DP₁∥y轴
∴点P₁的坐标为（2，1）
如图所示，类似地，可得点P₂的坐标为（-2，1）
设图象经过P、P₁、P₂、三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），得：
①

=a+b+c；②1=4a+2b+c；③1=4a-2b+c
解得a=

，b=0，c=0
∴图象经过这三点的二次函数的解析式为y=

x²．

（3）如图所示
∵AB∥PD，
∴PD⊥x轴，

∵AB=BC
∴DP=PC

∴PM+PB=PM+PC+BC
=PM+PD+BC
由几何知识可知，当直线DP经过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小
又∵BC是圆B的半径
∴当直线BP过点M时，PM+PB的值最小
∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
∵OD=3，OA=2
由勾股定理有AD=

又可证DO是圆B的切线
∴OD²=DC•AD
∴CD=

，
则AC=AD-CD=

由△PDC∽△BAC，得：

即DP=

∴点P的坐标为（-3，

）．
点评：本题综合性强，考查了直线与圆，抛物线与圆的相关知识，用形数结合的观点，只有当D，P，M三点共线时PM+PD的值最小，结合切割线定理，相似比求出P点坐标．

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科目：初中数学 来源：2004年全国中考数学试题汇编《一次函数》（05）（解析版） 题型：解答题

（2004•海淀区）如示意图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A是x轴的负半轴上一点，以AO为直径的⊙P经过点C（-8，4）．点E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE与x轴相交于点M，过C点作直线CN交x轴于点N，交⊙P于点F，使得△CMN是以MN为底的等腰三角形，经过E、F两点的直线与x轴相交于点Q．
（1）求出点A的坐标；
（2）当m=-5时，求图象经过E、Q两点的一次函数的解析式；
（3）当点E（m，n）在⊙P上运动时，猜想∠OQE的大小会发生怎样的变化？请对你的猜想加以证明．