Question

如图，在△ABD和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用SAS证明△ABC≌△ADE，得BC=DE．
（2）根据（1）里的全等关系，可证出△BFD∽△DFG，所以，即FD²=FG•FB．
解答：解：（1）BC、DE的数量关系是BC=DE．
理由如下：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE．（SAS）
∴BC=DE．

（2）线段FD是线段FG和FB的比例中项．
理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC=∠ADE．
∵∠ABC=∠CBD，∴∠ADE=∠CBD，
又∵∠BFD=∠DFG，
∴△BFD∽△DFG．
∴∴FD²=FG•FB．
即线段FD是线段FG和FB的比例中项．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质．