Question

2．如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．若⊙O的半径为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB=$\sqrt{2}$+1，则$\frac{AE}{ED}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连EF，由∠BAD=90°，得到EF为⊙O的直径，即EF=$\sqrt{3}$，所以AF²+AE²=EF²=（$\sqrt{3}$）²=3，而DE=AF，所以DE²+AE²=EF²=（$\sqrt{3}$）²=3；由AD=AE+ED=AB=$\sqrt{2}$，这样得到关于DE，AE的方程组，解方程组求出DE，AE，即可得到$\frac{AE}{ED}$的值．

解答 解：连EF，
∵∠BAD=90°，
∴EF为⊙O的直径，
而⊙O的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，
∴AF²+AE²=EF²=（$\sqrt{3}$）²=3①，
而DE=AF，
DE²+AE²=3；
又∵AD=AE+ED=AB，
∴AE+ED=$\sqrt{2}$②，
由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=$\sqrt{2}$或AE=$\sqrt{2}$，ED=1，
∴$\frac{AE}{ED}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为直角、圆内接四边形的性质、正方形的性质以及方程组的解法．