Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB．
（1）求证：△BFC≌△DFC；
（2）若∠BCD=60°，BC=8，求BE的长．

Answer 1

证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠1=∠2．
∵BC=DC，FC=FC，
∴△BFC≌△DFC．

（2）解：延长DF交BC于G，
∵AD∥BC，DF∥AB，∠A=90°，
∴四边形ABGD是矩形．
∴∠BGD=90°．
∵△BFC≌△DFC，
∴∠3=∠4．
∵∠BFG=∠DFE，
∴∠BGD=∠DEF=90°．
∵∠BCD=60°，BC=8，
∴BE=BC，sin60°=4．
分析：（1）△BFC和△DFC可看作关于直线CF的轴对称，围绕轴对称找全等的条件；
（2）由AD∥BC，DF∥AB，得∠ADC=120°，∠ADF=90°，即∠FDC=30°，由△BFC≌△DFC得∠CBE=∠FDC=30°，可证△BCE是含30°的直角三角形，解直角三角形可求BE．
点评：本题把角平分线置于直角梯形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现全等三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目．