Question

13．甲、乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图1，线段OA表示货车离甲地距离y₁（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系；折线BCDE表示轿车离甲地距离y₂（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5h，轿车比货车晚出发1h，确早到0.5h
（2）分别求出y₁，y₂与时间x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
（3）如图2，直线x=t（0≤t≤5）分别交线段OA和折线OBCDEA于M，N，设MN的长为l
①直接写出l与x的函数关系式，并标出自变量x的取值范围
②l的实际意义是货车与轿车之间的距离

（4）直接写出当两车相距为35km，x的值为$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根据图1可以解答本题；
（2）根据函数图象可以得到y₁，y₂与时间x（h）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
（3）①根据函数图象可以得到l与x的函数关系式，标出自变量x的取值范围；
②根据题意可以得到l表示的实际意义；
（4）根据第（3）问的结果可以解答本题．

解答 解：（1）由图1可得，
线段CD表示轿车在途中停留了2.5-2=0.5h，轿车比货车晚出发1h，确早到5-4.5=0.5h，
故答案为：0.5，1，0.5；
（2）设线段OA对应的函数解析式为：y₁=k₁x，
则300=5k₁，得k₁=60，
即线段OA对应的函数解析式为：y₁=60x；
当1≤x≤2时，设y₂与时间x（h）之间的函数关系式为y₂=k₂x+b₂，
$\left\{\begin{array}{l}{0={k}_{2}+{b}_{2}}\\{80=2{k}_{2}+{b}_{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=80}\\{{b}_{2}=-80}\end{array}\right.$，
即当1≤x≤2时，y₂与时间x（h）之间的函数关系式为y₂=80x-80，
当2＜x≤2.5时，y₂与时间x（h）之间的函数关系式为y₂=80，
当2.5＜x≤4.5时，设y₂与时间x（h）之间的函数关系式为y₂=k₃x+b₃，
则$\left\{\begin{array}{l}{2.5{k}_{3}+{b}_{3}=80}\\{4.5{k}_{3}+{b}_{3}=300}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{3}=110}\\{{b}_{3}=-195}\end{array}\right.$，
即当2.5＜x≤4.5时，y₂与时间x（h）之间的函数关系式为：y₂=110x-195，
由上可得，y₁与时间x（h）之间的函数关系式为：y₁=60x（0≤x≤5），
y₂与时间x（h）之间的函数关系式为：${y}_{2}=\left\{\begin{array}{l}{80x-80}&{1≤x≤2}\\{80}&{2＜x＜2.5}\\{110x-195}&{2.5≤x≤4.5}\end{array}\right.$；
（3）①∵y₁与时间x（h）之间的函数关系式为：y₁=60x（0≤x≤5），
y₂与时间x（h）之间的函数关系式为：${y}_{2}=\left\{\begin{array}{l}{80x-80}&{1≤x≤2}\\{80}&{2＜x＜2.5}\\{110x-195}&{2.5≤x≤4.5}\end{array}\right.$，
∴当0≤x＜1时，l=60x，
当1≤x＜2时，l=60x-（80x-80）=-20x+80，
当2≤x＜2.5时，l=60x-80，
令60x=110x-195，得x=3.9，
当2.5≤x＜3.9时，l=60x-（110x-195）=-50x+195，
当3.9≤x＜4.5时，l=110x-195-60x=50x-195，
当4.5≤x≤5时，l=300-60x；
由上可得，l=$\left\{\begin{array}{l}{60x}&{0≤x＜1}\\{-20x+80}&{1≤x＜2}\\{60x-80}&{2≤x＜2.5}\\{-50x+195}&{2.5≤x＜3.9}\\{50x-195}&{3.9≤x＜4.5}\\{300-60x}&{4.5≤x≤5}\end{array}\right.$；
②l的实际意义是货车与轿车之间的距离，
故答案为：货车与轿车之间的距离；
（4）令60x=35，得x=$\frac{7}{12}$，
令-20x+80=35，得x=2.25（舍去），
令60x-80=35，得x=$1\frac{11}{12}$（舍去），
令-50x+195=35，得x=4.6（舍去），
令50x-195=35，得x=3.2（舍去），
令300-60x=35，得x=4$\frac{5}{12}$（舍去），
故答案为：$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．